Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 16 x - 18 y + 145 = 25$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $145$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} + 16 x - 18 y = 25 - 145$

Schritt 1.2

Subtrahiere $145$ von $25$ .

$x^{2} + y^{2} + 16 x - 18 y = - 120$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 16 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 16$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{8}{1}$

Schritt 2.3.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$d = 8$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $256$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$e = 0 - 64$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$e = - 64$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 8)}^{2} - 64$ ein.

${(x + 8)}^{2} - 64$

Schritt 3

Setze ${(x + 8)}^{2} - 64$ für $x^{2} + 16 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 16 x - 18 y = - 120$ .

${(x + 8)}^{2} - 64 + y^{2} - 18 y = - 120$

Schritt 4

Bringe $- 64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

${(x + 8)}^{2} + y^{2} - 18 y = - 120 + 64$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 18 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 18$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 9}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$d = - 9$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{324}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 9)}^{2} - 81$ ein.

${(y - 9)}^{2} - 81$

Schritt 6

Setze ${(y - 9)}^{2} - 81$ für $y^{2} - 18 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 16 x - 18 y = - 120$ .

${(x + 8)}^{2} + {(y - 9)}^{2} - 81 = - 120 + 64$

Schritt 7

Bringe $- 81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

${(x + 8)}^{2} + {(y - 9)}^{2} = - 120 + 64 + 81$

Schritt 8

Vereinfache $- 120 + 64 + 81$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $- 120$ und $64$ .

${(x + 8)}^{2} + {(y - 9)}^{2} = - 56 + 81$

Schritt 8.2

Addiere $- 56$ und $81$ .

${(x + 8)}^{2} + {(y - 9)}^{2} = 25$