Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y + 64 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 54 x + 9 y^{2} - 6 y = - 64$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $9$ .

$x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 6 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 3)}^{2} - 9$ ein.

${(x + 3)}^{2} - 9$

Schritt 4

Setze ${(x + 3)}^{2} - 9$ für $x^{2} + 6 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ .

${(x + 3)}^{2} - 9 + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$

Schritt 5

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

${(x + 3)}^{2} + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9} + 9$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - \frac{2 y}{3}$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{3}$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Schritt 6.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 6.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 6.4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{9}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ ein.

${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 7

Setze ${(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ für $y^{2} - \frac{2 y}{3}$ ein in der Gleichung $x^{2} + 6 x + y^{2} - \frac{2 y}{3} = - \frac{64}{9}$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} = - \frac{64}{9} + 9$

Schritt 8

Bringe $- \frac{1}{9}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{9}$ auf beiden Seiten.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$

Schritt 9

Vereinfache $- \frac{64}{9} + 9 + \frac{1}{9}$ .

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Schritt 9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 64 + 1}{9}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Addiere $- 64$ und $1$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 + \frac{- 63}{9}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $- 63$ durch $9$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 9 - 7$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $7$ von $9$ .

${(x + 3)}^{2} + {(y - \frac{1}{3})}^{2} = 2$

Schritt 10

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 11

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \sqrt{2}$

$h = - 3$

$k = \frac{1}{3}$

Schritt 12

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- 3, \frac{1}{3})$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- 3, \frac{1}{3})$

Radius: $\sqrt{2}$

Schritt 14