Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} = 3 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $3 x = y^{2}$ um.

$3 x = y^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = y^{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = y^{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{3}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{3}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 \cdot 3$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$d = 0$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (0 (\frac{3}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - 0$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 + 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$e = 0$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{3} y^{2}$ ein.

$\frac{1}{3} y^{2}$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{3} y^{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{3}{4})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{3}{4}, 0)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{3}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - \frac{3}{4}$

Schritt 10