Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{144} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{144} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 12$

$k = 2$

$h = - 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 1, 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(12)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 144}$

Schritt 5.3.3

Addiere $16$ und $144$ .

$\sqrt{160}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$\sqrt{16 (10)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2} \cdot 10}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{10}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 6)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, - 2)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(- 1, 6), (- 1, - 2)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 2 + 4 \sqrt{10})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 2 - 4 \sqrt{10})$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(- 1, 2 + 4 \sqrt{10}), (- 1, 2 - 4 \sqrt{10})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 12^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 144}}{4}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $16$ und $144$ .

$\frac{\sqrt{160}}{4}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (10)}}{4}$

Schritt 8.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 10}}{4}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $\sqrt{10}$ durch $1$ .

$\sqrt{10}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{12^{2}}{4 \sqrt{10}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{144}{4 \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $144$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $144$ heraus.

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 36}{4 (\sqrt{10})}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{36}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{36}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{36}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 9.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{36}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.4.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 9.3.4.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 9.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 9.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{36 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 9.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 9.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $36 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{10}$

Schritt 9.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 (5)}$

Schritt 9.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + 2$

Schritt 11.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 + 6}{3}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $1$ und $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 2$

Schritt 12.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 6}{3}$

Schritt 12.2.5.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 1, 2)$

Scheitelpunkte: $(- 1, 6), (- 1, - 2)$

Brennpunkte: $(- 1, 2 + 4 \sqrt{10}), (- 1, 2 - 4 \sqrt{10})$

Exzentrizität: $\sqrt{10}$

Fokaler Parameter: $\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

Asymptoten: $y = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$ , $y = - \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 15