Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} = - 5 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 x = y^{2}$ um.

$- 5 x = y^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = y^{2}$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = y^{2}$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{y^{2}}{- 5}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{y^{2}}{- 5}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 5}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{5}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{5}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 (- 1 \cdot 5)$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 5)$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = 0 \cdot - 5$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 5$ .

$d = 0$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{5}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 4}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - \frac{0}{- \frac{4}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (0 (- \frac{5}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere $0 (- \frac{5}{4})$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 - (0 (\frac{5}{4}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{4}$ .

$e = 0 - 0$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 + 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$e = 0$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{5} y^{2}$ ein.

$- \frac{1}{5} y^{2}$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{5} y^{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5}{4}, 0)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{5}{4}$

Schritt 10