Elementarmathematik Beispiele

$(2 \sqrt{3 m} + 3 \sqrt{5 n}) (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 1

Multipliziere $(2 \sqrt{3 m} + 3 \sqrt{5 n}) (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m} - 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere $2 \sqrt{3 m} (2 \sqrt{3 m})$ .

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Schritt 2.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \sqrt{3 m} \sqrt{3 m} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3 m}$ mit $1$ .

$4 ({\sqrt{3 m}}^{1} \sqrt{3 m}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3 m}$ mit $1$ .

$4 ({\sqrt{3 m}}^{1} {\sqrt{3 m}}^{1}) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\sqrt{3 m}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 {\sqrt{3 m}}^{2} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.2

Schreibe ${\sqrt{3 m}}^{2}$ als $3 m$ um.

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Schritt 2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 m}$ als ${(3 m)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 {({(3 m)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 m)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 {(3 m)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(3 m)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(3 m)}^{1} + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache.

$4 (3 m) + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 m + 2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n}) + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{3 m} (- 3 \sqrt{5 n})$ .

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$12 m - 6 \sqrt{3 m} \sqrt{5 n} + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$12 m - 6 \sqrt{5 n (3 m)} + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m}) + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $3 \sqrt{5 n} (2 \sqrt{3 m})$ .

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{3 m (5 n)} + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} + 3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.6

Multipliziere $3 \sqrt{5 n} (- 3 \sqrt{5 n})$ .

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 \sqrt{5 n} \sqrt{5 n}$

Schritt 2.1.6.2

Potenziere $\sqrt{5 n}$ mit $1$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 ({\sqrt{5 n}}^{1} \sqrt{5 n})$

Schritt 2.1.6.3

Potenziere $\sqrt{5 n}$ mit $1$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 ({\sqrt{5 n}}^{1} {\sqrt{5 n}}^{1})$

Schritt 2.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {\sqrt{5 n}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {\sqrt{5 n}}^{2}$

Schritt 2.1.7

Schreibe ${\sqrt{5 n}}^{2}$ als $5 n$ um.

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Schritt 2.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 n}$ als ${(5 n)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {({(5 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 {(5 n)}^{1}$

Schritt 2.1.7.5

Vereinfache.

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 9 (5 n)$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 n m} + 6 \sqrt{15 m n} - 45 n$

Schritt 2.2

Addiere $- 6 \sqrt{15 n m}$ und $6 \sqrt{15 m n}$ .

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Schritt 2.2.1

Bewege $n$ .

$12 m - 6 \sqrt{15 m n} + 6 \sqrt{15 m n} - 45 n$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 6 \sqrt{15 m n}$ und $6 \sqrt{15 m n}$ .

$12 m + 0 - 45 n$

Schritt 2.3

Addiere $12 m$ und $0$ .

$12 m - 45 n$