Elementarmathematik Beispiele

$(\sqrt{3} + \sqrt{15 i}) (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Schritt 1

Multipliziere $(\sqrt{3} + \sqrt{15 i}) (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} (\sqrt{3} - \sqrt{15 i})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{15 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{15 i})$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 - \sqrt{3 (15 i)} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$3 - \sqrt{45 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.6

Schreibe $45 i$ als $3^{2} \cdot (5 i)$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$3 - \sqrt{9 (5) i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot 5 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot (5 i)} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 - (3 \sqrt{5 i}) + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i} \sqrt{3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i \cdot 3} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{45 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.11

Schreibe $45 i$ als $3^{2} \cdot (5 i)$ um.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{9 (5) i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.11.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{3^{2} \cdot 5 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.11.3

Füge Klammern hinzu.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{3^{2} \cdot (5 i)} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} + \sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.13

Multipliziere $\sqrt{15 i} (- \sqrt{15 i})$ .

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Schritt 2.1.13.1

Potenziere $\sqrt{15 i}$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - ({\sqrt{15 i}}^{1} \sqrt{15 i})$

Schritt 2.1.13.2

Potenziere $\sqrt{15 i}$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - ({\sqrt{15 i}}^{1} {\sqrt{15 i}}^{1})$

Schritt 2.1.13.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {\sqrt{15 i}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {\sqrt{15 i}}^{2}$

Schritt 2.1.14

Schreibe ${\sqrt{15 i}}^{2}$ als $15 i$ um.

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Schritt 2.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15 i}$ als ${(15 i)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {({(15 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - {(15 i)}^{1}$

Schritt 2.1.14.5

Vereinfache.

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - (15 i)$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5 i} + 3 \sqrt{5 i} - 15 i$

Schritt 2.2

Addiere $- 3 \sqrt{5 i}$ und $3 \sqrt{5 i}$ .

$3 + 0 - 15 i$

Schritt 2.3

Addiere $3$ und $0$ .

$3 - 15 i$