Elementarmathematik Beispiele

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x - 2) (9 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Schritt 2.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Schritt 2.1.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Schritt 2.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Schritt 2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $9 x$ und $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Schritt 2.2

Schreibe $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ um.

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $10$ von $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $11 x - x^{2} - 28$ heraus.

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Schritt 2.3.4.1.1

Stelle $11 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Schritt 2.3.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Schritt 2.3.4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $11 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Schritt 2.3.4.1.4

Schreibe $- 28$ als $- 1 (28)$ um.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 11 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Schritt 2.3.4.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ heraus.

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Schritt 2.3.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 7, - 4$

Schritt 2.3.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.3.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.6

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.6.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.3.6.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.3.7

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.7.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 7) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 4$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (11 x - x^{2} - 18)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $11 x - x^{2} - 18$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1.1

Stelle $11 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Schritt 3.2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $11 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Schritt 3.2.2.1.4

Schreibe $- 18$ als $- 1 (18)$ um.

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Schritt 3.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 11 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Schritt 3.2.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ heraus.

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 9, - 2$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Schritt 3.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Schritt 3.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2.4

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 3.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 9) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 9, 2$

Schritt 3.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 3.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Schritt 3.2.8.1.3

Die linke Seite $- 18$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 3.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Schritt 3.2.8.2.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 3.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Schritt 3.2.8.3.3

Die linke Seite $- 30$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

Schritt 3.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 9$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(2, 9)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $0.77815125$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $1.07918124$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $7 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $7 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $0.77815125$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 5.5.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Schritt 5.5.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.5.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.5.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 7$ Falsch

$7 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 7$ Falsch

$7 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 4$ oder $7 < x < 9$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Intervallschreibweise:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Schritt 8