Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (x^{2} - 2 x - 26) = 2$

Schritt 1

Schreibe $\log_{3} (x^{2} - 2 x - 26) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 2 x - 26$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 2 x - 26 = 3^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x - 26 = 3^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 2 x - 26 = 9$

Schritt 2.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 26 - 9 = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $9$ von $- 26$ .

$x^{2} - 2 x - 35 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 7, 5$

Schritt 2.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 5) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.7

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.8

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 5$