Elementarmathematik Beispiele

$2 \sqrt{x + 1} - \sqrt{2 x + 3} = 1$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{2 x + 3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{2 x + 3}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 1) = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x + 4 = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$ um.

$4 x + 4 = (1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 = 1 (1 + \sqrt{2 x + 3}) + \sqrt{2 x + 3} (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 x + 4 = 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{2 x + 3}$ mit $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{2 x + 3}$ mit $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2 x + 3}$ mit $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1} \sqrt{2 x + 3}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2 x + 3}$ mit $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1} {\sqrt{2 x + 3}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ als $2 x + 3$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 3}$ als ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + 2 x + 3$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$4 x + 4 = 4 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + 2 x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{2 x + 3}$ und $\sqrt{2 x + 3}$ .

$4 x + 4 = 4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{2 x + 3}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4$ um.

$4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{2 x + 3}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4 - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x + 4 - 4 - 2 x$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x + 4 - 4 - 2 x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x + 0 - 2 x$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x - 2 x$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 2 x$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 3}$ als ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(2 x + 3)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$4 (2 x + 3) = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (2 x) + 4 \cdot 3 = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + 4 \cdot 3 = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$8 x + 12 = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x + 12 = 2^{2} x^{2}$

Schritt 6.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x + 12 = 4 x^{2}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x + 12 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $8 x + 12 - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 7.2.1.1.1

Bewege $12$ .

$8 x - 4 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 7.2.1.1.2

Stelle $8 x$ und $- 4 x^{2}$ um.

$- 4 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Schritt 7.2.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- 4 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Schritt 7.2.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $8 x$ heraus.

$- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) + 12 = 0$

Schritt 7.2.1.4

Faktorisiere $- 4$ aus $12$ heraus.

$- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 7.2.1.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (x^{2}) - 4 (- 2 x)$ heraus.

$- 4 (x^{2} - 2 x) - 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 7.2.1.6

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (x^{2} - 2 x) - 4 (- 3)$ heraus.

$- 4 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 7.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 4 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Schritt 7.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 (x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 7.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 7.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 (x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $2 \sqrt{x + 1} - \sqrt{2 x + 3} = 1$ nicht erfüllen.

$x = 3$