Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 55, \pm 5, \pm 11$

Schritt 1.1.3

Setze $- 5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $- 5$ in das Polynom ein.

${(- 5)}^{4} + 15 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $- 5$ mit $4$ .

$625 + 15 {(- 5)}^{3} + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$625 + 15 \cdot - 125 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $15$ mit $- 125$ .

$625 - 1875 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.5

Subtrahiere $1875$ von $625$ .

$- 1250 + 40 {(- 5)}^{2} - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.6

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- 1250 + 40 \cdot 25 - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $40$ mit $25$ .

$- 1250 + 1000 - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.8

Addiere $- 1250$ und $1000$ .

$- 250 - 39 \cdot - 5 + 55$

Schritt 1.1.3.9

Mutltipliziere $- 39$ mit $- 5$ .

$- 250 + 195 + 55$

Schritt 1.1.3.10

Addiere $- 250$ und $195$ .

$- 55 + 55$

Schritt 1.1.3.11

Addiere $- 55$ und $55$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $- 5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55}{x + 5}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ durch $x + 5$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 5 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{3} + 50 x^{2}$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 x^{2} - 50 x$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

Schritt 1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

Schritt 1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $11 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

Schritt 1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

Schritt 1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $11 x + 55$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

Schritt 1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

$x$

$5$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$40 x^{2}$

$39 x$

$55$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$10 x^{3}$

$40 x^{2}$

$10 x^{3}$

$50 x^{2}$

$10 x^{2}$

$39 x$

$10 x^{2}$

$50 x$

$11 x$

$55$

$11 x$

$55$

$0$

Schritt 1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$

Schritt 1.1.6

Schreibe $x^{4} + 15 x^{3} + 40 x^{2} - 39 x + 55$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 5) (x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 11$

Schritt 1.2.1.3

Setze $- 11$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 11$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.1.3.1

Setze $- 11$ in das Polynom ein.

${(- 11)}^{3} + 10 {(- 11)}^{2} - 10 \cdot - 11 + 11$

Schritt 1.2.1.3.2

Potenziere $- 11$ mit $3$ .

$- 1331 + 10 {(- 11)}^{2} - 10 \cdot - 11 + 11$

Schritt 1.2.1.3.3

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$- 1331 + 10 \cdot 121 - 10 \cdot - 11 + 11$

Schritt 1.2.1.3.4

Mutltipliziere $10$ mit $121$ .

$- 1331 + 1210 - 10 \cdot - 11 + 11$

Schritt 1.2.1.3.5

Addiere $- 1331$ und $1210$ .

$- 121 - 10 \cdot - 11 + 11$

Schritt 1.2.1.3.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 11$ .

$- 121 + 110 + 11$

Schritt 1.2.1.3.7

Addiere $- 121$ und $110$ .

$- 11 + 11$

Schritt 1.2.1.3.8

Addiere $- 11$ und $11$ .

$0$

Schritt 1.2.1.4

Da $- 11$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 11$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11}{x + 11}$

Schritt 1.2.1.5

Dividiere $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ durch $x + 11$ .

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Schritt 1.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$11$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$10 x$

$11$

Schritt 1.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$

Schritt 1.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			+	$x^{3}$	+	$11 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 11 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 1.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 1.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 1.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 1.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - 11 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$

Schritt 1.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$

Schritt 1.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$

Schritt 1.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$

Schritt 1.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							+	$x$	+	$11$

Schritt 1.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 11$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							-	$x$	-	$11$

Schritt 1.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$11$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$10 x$	+	$11$
			-	$x^{3}$	-	$11 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$11 x$
							+	$x$	+	$11$
							-	$x$	-	$11$
										$0$

Schritt 1.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x + 1$

Schritt 1.2.1.6

Schreibe $x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 11$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 5) ((x + 11) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 5) (x + 11) (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 11 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4

Setze $x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 11$ gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 5

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} - x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (x + 11) (x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, - 11, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$