Elementarmathematik Beispiele

$\csc^{2} (x) = 6 \cot (x) + 8$

Schritt 1

Ersetze die $\csc^{2} (x)$ durch $\cot^{2} (x) + 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$\cot^{2} (x) + 1 = 6 \cot (x) + 8$

Schritt 2

Ersetze $\cot (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 1 = 6 (u) + 8$

Schritt 3

Subtrahiere $6 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 1 - 6 u = 8$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 1 - 6 u - 8 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $u^{2} - 6 u - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 8

Setze $u - 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u - 7$ gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 7$

Schritt 9

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 7) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 7, - 1$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\cot (x)$ .

$\cot (x) = 7, - 1$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = 7$

$\cot (x) = - 1$

Schritt 13

Löse in $\cot (x) = 7$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (7)$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Berechne $arccot (7)$ .

$x = 0.14189705$

Schritt 13.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Schritt 13.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.14189705$

Schritt 13.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Schritt 13.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.14189705$ .

$x = 3.2834897$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Löse in $\cot (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 1)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $arccot (- 1)$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 14.4.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 14.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 16.1

Führe $0.14189705 + π n$ und $3.2834897 + π n$ zu $0.14189705 + π n$ zusammen.

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16.2

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{7 π}{4} + π n$ zu $\frac{3 π}{4} + π n$ zusammen.

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$