Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - 2$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} - 2$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) - 2$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) - 2$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 2$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 2$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 2$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 2$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 2$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 2$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} - 2$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} - 2$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} - 2$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} - 2$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} - 2$

Schritt 2.2.2

Stelle $6 h x$ und $3 h^{2}$ um.

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2$

$f (x) = 3 x^{2} - 2$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2$

$f (x) = 3 x^{2} - 2$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - (3 x^{2} - 2)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - (3 x^{2}) - - 2}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - 3 x^{2} - - 2}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 2 - 3 x^{2} + 2}{h}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0 - 2 + 2}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $3 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x - 2 + 2}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $3 h^{2} + 6 h x$ und $0$ .

$\frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere $3 h$ aus $3 h^{2} + 6 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $3 h$ aus $3 h^{2}$ heraus.

$\frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $3 h$ aus $6 h x$ heraus.

$\frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Faktorisiere $3 h$ aus $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ heraus.

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $3 (h + 2 x)$ durch $1$ .

$3 (h + 2 x)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 h + 3 (2 x)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 h + 6 x$

Schritt 4.2.3.2

Stelle $3 h$ und $6 x$ um.

$6 x + 3 h$

Schritt 5