Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{11 - 2 x}{2 x^{2} - 13 x - 7}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{11 - 2 x}{2 x^{2} - 13 x - 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $- 13$ um als $1$ plus $- 14$

$2 x^{2} + (1 - 14) x - 7 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 14 x - 7 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 14 x - 7 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 14 x - 7 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - 7 (2 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 7$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 7) \cup (7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - \frac{1}{2}, 7}$

Schritt 4