Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Um $\frac{1}{x + h + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Schritt 5.1.2

Um $- \frac{1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 5.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h + 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.5.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.5.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.5.6

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Schritt 6