Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ an.

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{5}$ als $\sqrt[3]{y^{5}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $10$ mit $5$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ um.

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

Schritt 3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $100000$ .

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache $100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ .

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100000$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $y$ mit $y^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.5.1.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Schritt 3.5.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Schritt 3.5.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Schritt 3.5.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

Schritt 3.5.1.2.4

Addiere $3$ und $2$ .

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

Schritt 3.6

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Vereinfache ${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $100000 x$ an.

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.2.1.1.2

Schreibe $100000$ als $10^{5}$ um.

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.2.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.7.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3.7.2.1.3

Potenziere $10$ mit $3$ .

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

Schritt 5.2.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Schritt 5.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Schritt 5.2.5

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1000$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $1000 x^{\frac{3}{5}}$ als ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ um.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.2.1

Dividiere $x^{\frac{1}{5}}$ durch $1$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 5.3.4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$