Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ um.

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} - 6 = 9 x$

Schritt 3.4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{5} = 9 x + 6$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $3$ aus $9 x + 6$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x$ heraus.

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x) + 3 (2)$ heraus.

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

Schritt 5.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

Schritt 5.2.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

Schritt 5.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

Schritt 5.2.7

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

Schritt 5.2.8

Schreibe $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

Schritt 5.2.8.2

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

Schritt 5.2.8.3

Addiere $x^{5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Schritt 5.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Schritt 5.2.10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 x^{5}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Schritt 5.2.10.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Schritt 5.2.10.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 5.2.11

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ als ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

Schritt 5.3.3.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Schritt 5.3.3.8

Addiere $9 x$ und $0$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$