Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$ nicht definiert ist.

$x = 2$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 16$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Schritt 6.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 6.1.2.1.2

Dividiere $4 (x + 2)$ durch $1$ .

$4 (x + 2)$

Schritt 6.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 2$

Schritt 6.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 x + 8$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 4 x + 8$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 4 x + 8$

Schritt 8