Elementarmathematik Beispiele

$y + 2 = - x^{2} + 3 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 3 x - 2$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 3$

$c = - 2$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d = \frac{3}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 2 - \frac{3^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - 2 - \frac{9}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 2 - \frac{9}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 2 - - \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{9}{4}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 2 + 1 (\frac{9}{4})$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$e = - 2 + \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 + 9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$e = \frac{- 8 + 9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Addiere $- 8$ und $9$ .

$e = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ ein.

$- {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$

Schritt 4