Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ als Gleichung.

$y = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ um.

$9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ durch $9$ .

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere ${(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 9)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Schritt 3.4.1.1.2

Vereinfache.

$y + 9 = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{x}{9})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{9}$ an.

$y + 9 = \frac{x^{3}}{9^{3}}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$y + 9 = \frac{x^{3}}{729}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{9^{3} {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Schritt 5.2.3.1.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Schritt 5.2.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Schritt 5.2.3.1.4

Vereinfache.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $729$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x + 9$ durch $1$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 9 - 9$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 9 - 9$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{729} - 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {((\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Addiere $\frac{x^{3}}{729}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{3}}{729}$ an.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe $729$ als $9^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{{(9^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Schritt 5.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Schritt 5.3.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.3.5.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$