Elementarmathematik Beispiele

$2 x - y^{2} = 4 y + 10$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 4 y + 10 + y^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$x = \frac{2 (2 y)}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (2 y)}{2 (1)} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 y}{1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.4

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$x = 2 y + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividiere $10$ durch $2$ .

$x = 2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Bewege $5$ .

$2 y + \frac{y^{2}}{2} + 5$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $2 y$ und $\frac{y^{2}}{2}$ um.

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 5$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 5$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 5 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = 5 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 5 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 5 - 2$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$e = 3$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$ ein.

$\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 2)}^{2} + 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = - 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, - 2)$

Schritt 4