Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 13 x + 40} \cdot \frac{x - 8}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 13 x + 40}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 13 x + 40 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 13 x + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 8, - 5$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 8) (x - 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 5$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x - 8}{x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 5) \cup (5, 8) \cup (8, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 1, - 1, 5, 8}$

Schritt 6