Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 - e^{2 x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- e^{2 x} \geq - 3$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{2 x} \geq - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- e^{2 x} \geq - 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- e^{2 x}}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{2 x}}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $e^{2 x}$ durch $1$ .

$e^{2 x} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$e^{2 x} \leq 3$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 x}) \leq \ln (3)$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$2 x \ln (e) \leq \ln (3)$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 x \cdot 1 \leq \ln (3)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x \leq \ln (3)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x \leq \ln (3)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \leq \ln (3)$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\ln (3)}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\ln (3)}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\ln (3)}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\ln (3)}{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq \frac{\ln (3)}{2}}$

Schritt 4