Elementarmathematik Beispiele

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{5}{3}$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 45 = 135$ und deren Summe gleich $b = 32$ ist.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} + 32 (x) + 45}{6 x + 10}$

Schritt 6.1.1.1.2

Schreibe $32$ um als $5$ plus $27$

$\frac{3 x^{2} + (5 + 27) x + 45}{6 x + 10}$

Schritt 6.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 5 x + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Schritt 6.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + 5 x) + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Schritt 6.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (3 x + 5) + 9 (3 x + 5)}{6 x + 10}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{6 x + 10}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 10$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 10}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 2 (5)}$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (5)$ heraus.

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 5$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 9}{2}$

Schritt 6.2

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2$

$x$

$9$

Schritt 6.3

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2$ .

			$\frac{x}{2}$
	$2$		$x$	+	$9$

Schritt 6.4

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	+	$x$

Schritt 6.5

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x$

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$

Schritt 6.6

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$

Schritt 6.7

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$	+	$9$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{x}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 6.9

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{x}{2}$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{x}{2}$

Schritt 8