Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ als Gleichung.

$y = 8 \sqrt[3]{x} - 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 8 \sqrt[3]{y} - 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 \sqrt[3]{y} - 4 = x$ um.

$8 \sqrt[3]{y} - 4 = x$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 \sqrt[3]{y} = x + 4$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(8 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(8 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(8 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $8 y^{\frac{1}{3}}$ an.

$8^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$512 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$512 y^{1} = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinfache.

$512 y = {(x + 4)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x + 4)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$512 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + 4^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 4^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ durch $512$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ durch $512$ .

$\frac{512 y}{512} = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $512$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{512 y}{512} = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $512$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $512$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{4 (128)} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{4 \cdot 128} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $512$ .

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Schritt 3.5.3.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $48 x$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{512} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $512$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{16 (32)} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{16 \cdot 32} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64}{512}$

Schritt 3.5.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $512$ .

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Schritt 3.5.3.1.3.1

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 (1)}{512}$

Schritt 3.5.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $512$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 8}$

Schritt 3.5.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 8}$

Schritt 3.5.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \sqrt[3]{x} - 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x}) - 4)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1))}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $4 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{4^{3} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $512$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $64$ aus $64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 ({(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3})}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $64$ aus $512$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{64 \cdot 8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{64 \cdot 8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \sqrt[3]{x} - 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x}) - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1))}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Wende die Produktregel auf $4 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (4^{2} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (16 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{48 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $128$ .

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $128$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{16 (8)} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{16 \cdot 8} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 \sqrt[3]{x} - 4$ und $32$ .

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{32} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{4 (8)} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (2 \sqrt[3]{x} - 1)}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2} + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1

Schreibe ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ als $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ um.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 ((2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.2

Multipliziere $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} - 1) - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.3.1.1

Multipliziere $2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ .

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Schritt 5.2.3.3.3.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.3.2

Subtrahiere $2 \sqrt[3]{x}$ von $- 2 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1$ .

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 0 + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Addiere ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Schritt 5.2.3.4.2

Addiere $- 12 \sqrt[3]{x}$ und $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.5.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.4.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.4.5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.4

Vereinfache.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.5

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.4.5.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.8

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 12 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.11

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.12

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.5.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.6

Addiere $- 12 x^{\frac{2}{3}}$ und $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.7

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.8

Subtrahiere $6 x^{\frac{1}{3}}$ von $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 0 - 1 + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.9

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

Schritt 5.2.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 0}{8}$

Schritt 5.2.4.11

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Um $\frac{3 x^{2}}{128}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $512$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.2.2

Mutltipliziere $128$ mit $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4$ heraus.

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Schritt 5.3.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} \cdot 4$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 4)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 4)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 3 \cdot 4)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.5

Um $\frac{3 x}{32}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x}{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $512$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{32}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.6.2

Mutltipliziere $32$ mit $16$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12) + 3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x + 12) + 3 x \cdot 16$ heraus.

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Schritt 5.3.4.8.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x + 12)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12)) + 3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x \cdot 16$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12)) + x (3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (x + 12)) + x (3 \cdot 16)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12) + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot 12 + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.8.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot 12 + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.8.4

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 \cdot x + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.8.5

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Schritt 5.3.4.9

Um $\frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64}} - 4$

Schritt 5.3.4.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $512$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.4.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{64}{8 \cdot 64}} - 4$

Schritt 5.3.4.10.2

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48) + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.4.12.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.12.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.12.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x \cdot x + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.2.3

Bringe $48$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x \cdot x + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.12.3.1

Bewege $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 (x \cdot x) + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4

Schreibe $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.12.4.1

Gruppiere die Terme um.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 64 + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 4^{3} + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.4.12.4.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.5

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2} + 48 x$ heraus.

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Schritt 5.3.4.12.4.5.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 48 x}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.5.2

Faktorisiere $12 x$ aus $48 x$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 12 x (4)}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.5.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x) + 12 x (4)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.6

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.12.4.6.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $12 x (x + 4)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.6.2

Faktorisiere $x + 4$ aus $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16 + 12 x)}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.7

Addiere $- 4 x$ und $12 x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 16)}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.4.12.4.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 4^{2})}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 5.3.4.12.4.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.12.4.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) {(x + 4)}^{2}}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.13

Multipliziere $x + 4$ mit ${(x + 4)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.13.1

Mutltipliziere $x + 4$ mit ${(x + 4)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.13.1.1

Potenziere $x + 4$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) {(x + 4)}^{2}}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{1 + 2}}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.13.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{3}}{512}} - 4$

Schritt 5.3.4.14

Schreibe $512$ als $8^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{3}}{8^{3}}} - 4$

Schritt 5.3.4.15

Schreibe $\frac{{(x + 4)}^{3}}{8^{3}}$ als ${(\frac{x + 4}{8})}^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{{(\frac{x + 4}{8})}^{3}} - 4$

Schritt 5.3.4.16

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 (\frac{x + 4}{8}) - 4$

Schritt 5.3.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 (\frac{x + 4}{8}) - 4$

Schritt 5.3.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x + 4 - 4$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$