Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{9 - \sqrt{- x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x \geq 0$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Term in $- x \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \leq 0$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{9 - \sqrt{- x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 - \sqrt{- x} \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{- x} \geq - 9$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{- x})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x}$ als ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 1)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${({(- 1)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

${({(- 1)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ um.

${(\sqrt{{(- 1)}^{3}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

${(\sqrt{- 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

${(i x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.6

Wende die Produktregel auf $i x^{\frac{1}{2}}$ an.

$i^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.7

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- x^{1} \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.9

Vereinfache.

$- x \geq {(- 9)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$- x \geq 81$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 81$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Teile jeden Term in $- x \geq 81$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{81}{- 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{81}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{81}{- 1}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Dividiere $81$ durch $- 1$ .

$x \leq - 81$

Schritt 4.5

Bestimme den Definitionsbereich von $9 - \sqrt{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x \geq 0$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \leq 0$

Schritt 4.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0]$

Schritt 4.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 81$

$- 81 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 4.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 81$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 81$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 84$

Schritt 4.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 84$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$9 - \sqrt{- (- 84)} \geq 0$

Schritt 4.7.1.3

Die linke Seite $- 0.16515138$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 81 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 81 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$9 - \sqrt{- (- 2)} \geq 0$

Schritt 4.7.2.3

Die linke Seite $7.58578643$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 4.7.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$9 - \sqrt{- (2)} \geq 0$

Schritt 4.7.3.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 81$ Falsch

$- 81 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - 81$ Falsch

$- 81 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 4.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 81 \leq x \leq 0$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 81, 0]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 81 \leq x \leq 0}$

Schritt 6