Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 14$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $14$ um als $- 1$ plus $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $5 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $93$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < \frac{1}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < \frac{1}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $84$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falsch

$x > \frac{1}{5}$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falsch

$x > \frac{1}{5}$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq \frac{1}{5}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ als ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 14$ ist.

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Schritt 4.3.1.1.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.1.2

Schreibe $14$ um als $- 1$ plus $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Schritt 4.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Löse $5 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 1$

Schritt 4.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Schritt 4.4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ nicht erfüllen.

$x = - 3$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

Schritt 6