Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 4}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 4 \geq 0$

Schritt 2

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 4$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 6}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 6 \geq 0$

Schritt 4

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 6$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{2 x - \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 6} - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x + 6} - x = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 6} = x$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 6}}^{2} = x^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 6}$ als ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 6)}^{1} = x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 6 = x^{2}$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 6 - x^{2} = 0$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x + 6 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Bewege $6$ .

$x - x^{2} + 6 = 0$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Schritt 6.4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Schritt 6.4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Schritt 6.4.2.1.4

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 6.4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 6.4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Schritt 6.4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.4.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Schritt 6.4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 6.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 6.4.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.4.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.4.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.4.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 2$

Schritt 6.5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 6} - x = 0$ nicht erfüllen.

$x = 3$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 4}$

Schritt 8