Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = x$ um.

$\frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{{(y - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 9)}^{\frac{1}{3}} = 5 x$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${({(y - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 9)}^{1} = {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.2

Vereinfache.

$y - 9 = {(5 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(5 x)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$y - 9 = 5^{3} x^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$y - 9 = 125 x^{3}$

Schritt 3.6

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 125 x^{3} + 9$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 {(\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} + 9$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{{({(x - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 9$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 9$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 9$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{5^{3}}) + 9$

Schritt 5.2.3.2.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{5^{3}}) + 9$

Schritt 5.2.3.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{125}) + 9$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = 125 (\frac{x - 9}{125}) + 9$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = x - 9 + 9$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 + 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (125 x^{3} + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{((125 x^{3} + 9) - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $125 x^{3} + 9 - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{(125 x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.1.2

Addiere $125 x^{3}$ und $0$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{(125 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $125 x^{3}$ an.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{125^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{{(5^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.6

Berechne den Exponenten.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x^{3 (\frac{1}{3})}}{5}$

Schritt 5.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x^{3 (\frac{1}{3})}}{5}$

Schritt 5.3.3.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.3.8

Vereinfache.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (125 x^{3} + 9) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (125 x^{3} + 9) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{{(x - 9)}^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 9$