Elementarmathematik Beispiele

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Schritt 1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ auftreten.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $\frac{x}{2} - \frac{π}{3}$ gleich $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = 2 π$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π + π}{3}$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{3}$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{3}$

Schritt 4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{7 π}{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Multipliziere $2 \frac{7 π}{3}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{7 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (7 π)}{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{14 π}{3}$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ tritt auf bei $(\frac{2 π}{3}, \frac{14 π}{3})$ , wobei $\frac{2 π}{3}$ und $\frac{14 π}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{14 π}{3})$

Schritt 6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 6.1

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ treten auf bei $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{14 π}{3}$ und jedem $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n$

Schritt 8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9