Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ als Gleichung.

$y = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$ um.

$\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3}} = 3 x$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 7)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.2

Vereinfache.

$y + 7 = {(3 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(3 x)}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$y + 7 = 3^{3} x^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y + 7 = 27 x^{3}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 27 x^{3} - 7$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 {(\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})}^{3} - 7$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ an.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Schritt 5.2.3.2.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Schritt 5.2.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 7 - 7$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 7 - 7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (27 x^{3} - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{((27 x^{3} - 7) + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $27 x^{3} - 7 + 7$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.1.2

Addiere $27 x^{3}$ und $0$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $27 x^{3}$ an.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{27^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.6

Berechne den Exponenten.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Schritt 5.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Schritt 5.3.3.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.3.8

Vereinfache.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (27 x^{3} - 7) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$