Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 3 x^{7}}{4 x^{4}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{- 3 x^{7}}{4 x^{4}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 7$

$m = 4$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 3 x^{7}$ heraus.

$\frac{x^{4} (- 3 x^{3})}{4 x^{4}}$

Schritt 6.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} (- 3 x^{3})}{x^{4} \cdot 4}$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} (- 3 x^{3})}{x^{4} \cdot 4}$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{3}}{4}$

Schritt 6.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{3}}{4}$

Schritt 6.2

Beginne auszumultiplizieren.

$\frac{- 3 x^{3}}{4}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4$ .

		-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$3 x^{3}$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3}$

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$3 x^{3}$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$3 x^{3}$
		$0$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$3 x^{3}$
		$0$	+	$0 x^{2}$

Schritt 6.9

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- \frac{3 x^{3}}{4}$

Schritt 6.10

Da aus der Polynomendivision kein polynomialer Teil resultiert, gibt es keine schiefen Asymptoten.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8