Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ als Gleichung.

$y = 3 \sqrt[3]{x} - 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 \sqrt[3]{y} - 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 \sqrt[3]{y} - 5 = x$ um.

$3 \sqrt[3]{y} - 5 = x$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt[3]{y} = x + 5$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(3 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 y^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 y^{1} = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinfache.

$27 y = {(x + 5)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x + 5)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$27 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $27 y = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ durch $27$ .

$\frac{27 y}{27} = \frac{x^{3}}{27} + \frac{15 x^{2}}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 y}{27} = \frac{x^{3}}{27} + \frac{15 x^{2}}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{15 x^{2}}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $27$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{3 (5 x^{2})}{27} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (9)} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 9} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{75 x}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $75$ und $27$ .

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Schritt 3.5.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $75 x$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{3 (25 x)}{27} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{3 (25 x)}{3 (9)} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{3 (25 x)}{3 \cdot 9} + \frac{125}{27}$

Schritt 3.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{5 {(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}}{9} + \frac{25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9} + \frac{125}{27}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 {(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Schreibe ${(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}$ als $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 ((3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.2

Multipliziere $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5)) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5)) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.3.1.1

Multipliziere $3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x})$ .

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Schritt 5.2.3.2.3.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.2.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} + 25) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.3.2

Subtrahiere $15 \sqrt[3]{x}$ von $- 15 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25) + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (9 \sqrt[3]{x^{2}}) + 5 (- 30 \sqrt[3]{x}) + 5 \cdot 25 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.2.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} + 5 (- 30 \sqrt[3]{x}) + 5 \cdot 25 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.5.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 25 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 25 (3 \sqrt[3]{x} - 5)}{9}$

Schritt 5.2.3.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 25 (3 \sqrt[3]{x}) + 25 \cdot - 5}{9}$

Schritt 5.2.3.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 75 \sqrt[3]{x} + 25 \cdot - 5}{9}$

Schritt 5.2.3.2.8

Mutltipliziere $25$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 75 \sqrt[3]{x} - 125}{9}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 125 + 75 \sqrt[3]{x} - 125$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 0 + 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Addiere $45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $- 150 \sqrt[3]{x}$ und $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{45 \sqrt[3]{x^{2}} - 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $45 \sqrt[3]{x^{2}} - 75 \sqrt[3]{x}$ und $9$ .

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $45 \sqrt[3]{x^{2}}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}}) - 75 \sqrt[3]{x}}{9}$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 75 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 25 \sqrt[3]{x})}{9}$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (15 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 25 \sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x})}{9}$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x})}{3 (3)}$

Schritt 5.2.3.4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{3 (15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x})}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x}}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15 \sqrt[3]{x^{2}} - 25 \sqrt[3]{x}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.4.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) - 25 \sqrt[3]{x}}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 25 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 5 (- 5 \sqrt[3]{x})}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 5 (- 5 \sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 \sqrt[3]{x^{2}} - 5 \sqrt[3]{x})}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 x^{\frac{2}{3}} - 5 \sqrt[3]{x})}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (3 x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.4.2.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) - 5 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2.4.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.4.2.4.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 5$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3}}{27} + \frac{125}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3} + 125}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.6.1.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{{(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{3} + 5^{3}}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ und $b = 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 5 + 5) ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - (3 \sqrt[3]{x} - 5) \cdot 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.6.1.3.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{(3 \sqrt[3]{x} + 0) ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - (3 \sqrt[3]{x} - 5) \cdot 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.3.2

Addiere $3 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - (3 \sqrt[3]{x} - 5) \cdot 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} ({(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2} - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.1

Schreibe ${(3 \sqrt[3]{x} - 5)}^{2}$ als $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} ((3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.2

Multipliziere $(3 \sqrt[3]{x} - 5) (3 \sqrt[3]{x} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1

Multipliziere $3 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x})$ .

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Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} + 25 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.2

Subtrahiere $15 \sqrt[3]{x}$ von $- 15 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 5 (3 \sqrt[3]{x} - 5) + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 5 (3 \sqrt[3]{x}) - 5 \cdot - 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 15 \sqrt[3]{x} - 5 \cdot - 5 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 15 \sqrt[3]{x} + 25 + 5^{2})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} - 30 \sqrt[3]{x} + 25 - 15 \sqrt[3]{x} + 25 + 25)}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.5

Subtrahiere $15 \sqrt[3]{x}$ von $- 30 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 45 \sqrt[3]{x} + 25 + 25)}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.6

Addiere $25$ und $25$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 50 - 45 \sqrt[3]{x} + 25)}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.7

Addiere $50$ und $25$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (9 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 - 45 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.8

Faktorisiere $3$ aus $9 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 - 45 \sqrt[3]{x}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.6.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \sqrt[3]{x^{2}}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 75 - 45 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.2

Faktorisiere $3$ aus $75$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (25) - 45 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.3

Faktorisiere $3$ aus $- 45 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (25) + 3 (- 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (25)$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25) + 3 (- 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25) + 3 (- 15 \sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \cdot (3 (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x})}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $27$ .

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Schritt 5.2.3.6.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 \sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 (\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{27} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 (\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{9 \cdot 3} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{9 (\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}))}{9 \cdot 3} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x})}{3} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}} + 25 - 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{\sqrt[3]{x} (3 \sqrt[3]{x^{2}}) + \sqrt[3]{x} \cdot 25 + \sqrt[3]{x} (- 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.8.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 25 + \sqrt[3]{x} (- 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.2.2

Bringe $25$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (- 15 \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.8.3.1

Multipliziere $3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.8.3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{2} x} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.8.3.1.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.3.8.3.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{2} x} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{2 + 1}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 \sqrt[3]{x^{3}} + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \cdot \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.3

Multipliziere $- 15 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.8.3.3.1

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.3.8.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 \sqrt[3]{x} - 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{3 x + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)$ heraus.

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 25 x^{\frac{1}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4.3.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $25 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25 - 15 x^{\frac{2}{3}} + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4.3.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25 + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}}) + 5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4.3.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $5 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 5)$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25 + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

Schritt 5.2.4.3.5

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 25$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25) + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

Schritt 5.2.4.3.6

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25) + x^{\frac{1}{3}} (- 15 x^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

Schritt 5.2.4.3.7

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))$ heraus.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 5 (3 x^{\frac{1}{3}} - 5))}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 5 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 5 \cdot - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot - 5)}{3}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 25 - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} - 25)}{3}$

Schritt 5.2.4.7

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}} + 0)}{3}$

Schritt 5.2.4.8

Addiere $3 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} + 15 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 5.2.4.9

Addiere $- 15 x^{\frac{1}{3}}$ und $15 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0)}{3}$

Schritt 5.2.4.10

Addiere $3 x^{\frac{2}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Schritt 5.2.4.11

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.4.11.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.4.11.1.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4.11.2

Vereinfache $x^{1} \cdot 3$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt[3]{x} - 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Um $\frac{5 x^{2}}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 x^{2}}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2} \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2} \cdot 3}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 5 x^{2} \cdot 3}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 5 x^{2} \cdot 3$ heraus.

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Schritt 5.3.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + 5 x^{2} \cdot 3}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2} \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 3)}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} (5 \cdot 3)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 5 \cdot 3)}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{25 x}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.5.2

Mutltipliziere $\frac{25 x}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.5.3

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15)}{27} + \frac{25 x \cdot 3}{27} + \frac{125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15) + 25 x \cdot 3 + 125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 15) + 75 x + 125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.8.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.4.8.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 15 + 75 x + 125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.3

Bringe $15$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 15 \cdot x^{2} + 75 x + 125}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4

Schreibe $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.8.4.1

Gruppiere die Terme um.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 125 + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 5^{3} + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.4.8.4.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2}) + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x^{2} + 75 x}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.5

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2} + 75 x$ heraus.

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Schritt 5.3.4.8.4.5.1

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 75 x}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.5.2

Faktorisiere $15 x$ aus $75 x$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (5)}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.5.3

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x (x) + 15 x (5)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.6

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + 15 x (x + 5)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.8.4.6.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $15 x (x + 5)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.6.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) + (x + 5) (15 x)$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25 + 15 x)}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.7

Addiere $- 5 x$ und $15 x$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 25)}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.4.8.4.8.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 5.3.4.8.4.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.8.4.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.9

Multipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.9.1

Mutltipliziere $x + 5$ mit ${(x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.9.1.1

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{1 + 2}}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.9.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{27}} - 5$

Schritt 5.3.4.10

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{\frac{{(x + 5)}^{3}}{3^{3}}} - 5$

Schritt 5.3.4.11

Schreibe $\frac{{(x + 5)}^{3}}{3^{3}}$ als ${(\frac{x + 5}{3})}^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x + 5}{3})}^{3}} - 5$

Schritt 5.3.4.12

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 (\frac{x + 5}{3}) - 5$

Schritt 5.3.4.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = 3 (\frac{x + 5}{3}) - 5$

Schritt 5.3.4.13.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = x + 5 - 5$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 \sqrt[3]{x} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{27} + \frac{5 x^{2}}{9} + \frac{25 x}{9} + \frac{125}{27}$