Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ um.

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 - 3 y, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$4 - 3 y, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 - 3 y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ mit $4 - 3 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ mit $4 - 3 y$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - 3 y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y = x (4 - 3 y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

Schritt 3.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y = 4 x - 3 x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $3 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + 3 x y = 4 x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y + 3 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $3 x y$ heraus.

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (3 x)$ heraus.

$y (2 + 3 x) = 4 x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (2 + 3 x) = 4 x$ durch $2 + 3 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (2 + 3 x) = 4 x$ durch $2 + 3 x$ .

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + 3 x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 - 3 x) + 6 x$ heraus.

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Schritt 5.2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Schritt 5.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - 3 x$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Multipliziere $- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 + 3 x) - 12 x$ heraus.

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Schritt 5.3.4.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ heraus.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Addiere $2$ und $0$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + 3 x$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$