Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 9}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 9 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Addiere $9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 9$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 3 |$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | \geq 3$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | \geq 3$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 3$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 3$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 3$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x \leq - 3$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 3$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{x^{2} - 9} = - 4$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{x^{2} - 9})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 9}$ als ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Vereinfache.

$x^{2} - 9 = {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x^{2} - 9 = 16$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 16 + 9$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $16$ und $9$ .

$x^{2} = 25$

Schritt 4.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 4.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 4.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 4.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3] \cup [3, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 3, x \geq 3, x \neq 5, - 5}$

Schritt 6