Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2}} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (3 x) - 4 x = 0$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ heraus.

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Schritt 4.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 1) (x + 4) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - 4$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2}} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 6.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 6.3

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x} = 0$ nicht erfüllen.

$x = - 1$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, 1, - 1, - 4}$

Schritt 8