Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache ${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ an.

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt[7]{y}}^{3}$ als $\sqrt[7]{y^{3}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ um.

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

Schritt 3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{y^{3}}$ als $y^{\frac{3}{7}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $343$ .

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $343$ .

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Schritt 3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

Schritt 3.6

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{7}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Vereinfache ${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $343 x$ an.

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.2.1.1.2

Schreibe $343$ als $7^{3}$ um.

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.2.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

Schritt 3.7.2.1.3

Potenziere $7$ mit $7$ .

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

Schritt 5.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

Schritt 5.2.4

Schreibe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x}$ als $x^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Schritt 5.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Schritt 5.2.5

Potenziere $7$ mit $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $823543$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $823543 x^{\frac{7}{3}}$ als ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ um.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.2.1

Dividiere $x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 5.3.4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$