Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x \leq 1$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x - 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x$ heraus.

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2) + 2 x (- x)$ heraus.

$2 x (2 - x) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 4.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 4.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Schritt 4.8.1.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 4.8.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Schritt 4.8.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Schritt 4.8.3.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 4.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 2$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ als ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache.

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2

Faktorisiere $2 u$ aus $4 u - 2 u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.1.2.1

Faktorisiere $2 u$ aus $4 u$ heraus.

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Schritt 6.3.1.2.2

Faktorisiere $2 u$ aus $- 2 u^{2}$ heraus.

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Schritt 6.3.1.2.3

Faktorisiere $2 u$ aus $2 u (2) + 2 u (- u)$ heraus.

$2 u (2 - u) = 0$

Schritt 6.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Schritt 6.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 6.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.4

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.4.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 6.3.4.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 6.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 6.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 < x \leq 1}$

Schritt 8