Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{1 - \frac{5}{x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 - \frac{5}{x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \frac{5}{x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{5}{x} \geq - 1$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$- \frac{5}{x} x = - x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{x} x = - x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5}{x} x = - x$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 5 = - x$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $- x = - 5$ um.

$- x = - 5$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 2.5

Bestimme den Definitionsbereich von $1 - \frac{5}{x}$ .

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Schritt 2.5.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.5.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 2.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 2.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 - \frac{5}{- 2} \geq 0$

Schritt 2.7.1.3

Die linke Seite $3.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.7.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 - \frac{5}{2} \geq 0$

Schritt 2.7.2.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.7.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 - \frac{5}{8} \geq 0$

Schritt 2.7.3.3

Die linke Seite $0.375$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 2.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x \geq 5$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{5}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup [5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 0, x \geq 5}$

Schritt 5