Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 x^{5} - 1$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 x^{5} - 1$ als Gleichung.

$y = 6 x^{5} - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 6 y^{5} - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $6 y^{5} - 1 = x$ um.

$6 y^{5} - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{5} = x + 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{5} = x + 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{5} = x + 1$ durch $6$ .

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{5}$ durch $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$ .

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$ als $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Schritt 3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{\sqrt[5]{6} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere $\sqrt[5]{6}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Schritt 3.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1 + 4}}$

Schritt 3.5.4.4

Addiere $1$ und $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{5}}$

Schritt 3.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[5]{6}}^{5}$ als $6$ um.

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Schritt 3.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{6}$ als $6^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{(6^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 3.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 3.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{1}}$

Schritt 3.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[5]{6}}^{4}$ als $\sqrt[5]{6^{4}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{6^{4}}}{6}$

Schritt 3.5.5.2

Potenziere $6$ mit $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{1296}}{6}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$

Schritt 3.5.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 x^{5} - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 x^{5} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 ((6 x^{5} - 1) + 1)}}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 (6 x^{5} + 0)}}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $6 x^{5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 \cdot (6 x^{5})}}{6}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $1296$ mit $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{7776 x^{5}}}{6}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $7776 x^{5}$ als ${(6 x)}^{5}$ um.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{{(6 x)}^{5}}}{6}$

Schritt 5.2.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})}^{5} - 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ an.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}$ als $1296 (x + 1)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{1296 (x + 1)}$ als ${(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{({(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296 \cdot 1}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $1296$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x + 1296$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Faktorisiere $1296$ aus $1296$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296 (1)}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.2.4.3

Faktorisiere $1296$ aus $1296 (x) + 1296 (1)$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $6$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{7776}) - 1$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $7776$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 (1296)}) - 1$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 \cdot 1296}) - 1$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1296$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 x^{5} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$