Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 2$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x \leq 2$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x - 1) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup (1, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 2, x \neq 1}$

Schritt 6