Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3}$ , $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Schritt 1

Berechne den Zähler in $\frac{f (a + h) - f a}{h}$ .

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Schritt 1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $a + h$ .

$f (a + h) = {(a + h)}^{3}$

Schritt 1.2

Ersetze die Funktionsbezeichner in $f (a + h) - f a$ durch die tatsächlichen Funktionen.

$({(a + h)}^{3}) - x^{3} a$

Schritt 1.3

Vereinfache $({(a + h)}^{3}) - x^{3} a$ .

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Schritt 1.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3} - x^{3} a$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3} - 1 a x^{3}$

Schritt 1.3.2.2

Bewege $h^{3}$ .

$a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} - 1 a x^{3} + h^{3}$

Schritt 1.3.2.3

Bewege $3 a h^{2}$ .

$a^{3} + 3 a^{2} h - 1 a x^{3} + 3 a h^{2} + h^{3}$

Schritt 1.3.2.4

Bewege $3 a^{2} h$ .

$a^{3} - 1 a x^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}$

Schritt 1.3.2.5

Stelle $a^{3}$ und $- 1 a x^{3}$ um.

$- 1 a x^{3} + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}$

Schritt 2

Forme $\frac{f (a + h) - f a}{h}$ um.

$\frac{- 1 a x^{3} + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache $\frac{- 1 a x^{3} + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 a x^{3}$ heraus.

$\frac{- (a x^{3}) + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $a^{3}$ heraus.

$\frac{- (a x^{3}) - 1 (- a^{3}) + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a x^{3}) - 1 (- a^{3})$ heraus.

$\frac{- (a x^{3} - a^{3}) + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $3 a^{2} h$ heraus.

$\frac{- (a x^{3} - a^{3}) - (- 3 a^{2} h) + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a x^{3} - a^{3}) - (- 3 a^{2} h)$ heraus.

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h) + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $3 a h^{2}$ heraus.

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h) - (- 3 a h^{2}) + h^{3}}{h}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h) - (- 3 a h^{2})$ heraus.

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2}) + h^{3}}{h}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $h^{3}$ heraus.

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2}) - 1 (- h^{3})}{h}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2}) - 1 (- h^{3})$ heraus.

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})}{h}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Schreibe $- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})$ als $- 1 (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})$ um.

$\frac{- 1 (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})}{h}$

Schritt 3.10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}}{h}$