Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$ nicht definiert ist.

$x = - 1$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{2} + 69 x + 168$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 69 x + 168}{x + 1}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $69 x$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 168}{x + 1}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $168$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Schritt 5.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x^{2}) + 3 (23 x)$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Schritt 5.1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x + 56)}{x + 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 56 = 112$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 5.1.2.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 x$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 (x) + 56)}{x + 1}$

Schritt 5.1.2.1.2

Schreibe $23$ um als $7$ plus $16$

$\frac{3 (2 x^{2} + (7 + 16) x + 56)}{x + 1}$

Schritt 5.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{2} + 7 x + 16 x + 56)}{x + 1}$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 7 x) + 16 x + 56)}{x + 1}$

Schritt 5.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (x (2 x + 7) + 8 (2 x + 7))}{x + 1}$

Schritt 5.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 7$ .

$\frac{3 ((2 x + 7) (x + 8))}{x + 1}$

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Schritt 5.2

Multipliziere $3 (2 x + 7) (x + 8)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 (2 x) + 3 \cdot 7) (x + 8)}{x + 1}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x) (x + 8) + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.5

Entferne die Klammern.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.6

Entferne die Klammern.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.7

Bewege $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.14

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.16

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 21 \cdot 8}{x + 1}$

Schritt 5.2.17

Mutltipliziere $21$ mit $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 168}{x + 1}$

Schritt 5.2.18

Addiere $48 x$ und $21 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 69 x + 168}{x + 1}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$6 x^{2}$

$69 x$

$168$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$6 x$
	$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} + 6 x$

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $63 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					+	$63 x$	+	$63$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $63 x + 63$

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$
							+	$105$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$6 x + 63 + \frac{105}{x + 1}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 6 x + 63$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 6 x + 63$

Schritt 7