Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 \geq 0$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - \sqrt{x + 2} \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{x + 2} \geq - x$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 2)}^{1} \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Vereinfache.

$x + 2 \geq {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$x + 2 \geq {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 4.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x + 2 \geq 1 x^{2}$

Schritt 4.3.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x + 2 \geq x^{2}$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x + 2 - x^{2} \geq 0$

Schritt 4.4.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x + 2 - x^{2} = 0$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x + 2 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.3.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.4.3.1.1.1

Bewege $2$ .

$x - x^{2} + 2 = 0$

Schritt 4.4.3.1.1.2

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x + 2 = 0$

Schritt 4.4.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

Schritt 4.4.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

Schritt 4.4.3.1.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.4.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.4.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 4.4.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 4.4.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 4.4.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 4.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.4.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.4.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.4.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.4.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 4.5

Bestimme den Definitionsbereich von $x - \sqrt{x + 2}$ .

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Schritt 4.5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 \geq 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 4.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 2, \infty)$

Schritt 4.6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 2}$

Schritt 6