Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$ nicht definiert ist.

$x = - 7, x = 3$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 4 x^{2} - 21 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 21 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Schritt 6.1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ heraus.

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Schritt 6.1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21$ heraus.

$\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $4$ ist.

$- 3, 7$

Schritt 6.1.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} + 4 x - 21}$

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $4$ ist.

$- 3, 7$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 6.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Schritt 6.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Schritt 6.1.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x$

Schritt 6.2

Da aus der Polynomendivision kein polynomialer Teil resultiert, gibt es keine schiefen Asymptoten.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8