Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ als Gleichung.

$y = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 3)}^{\frac{1}{2}} = x$ um.

${(y - 3)}^{\frac{1}{2}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 3)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$y - 3 = x^{2}$

Schritt 3.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} + 3$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = (x - 3) + 3$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = x - 3 + 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} + 3) = {((x^{2} + 3) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(x^{2} + 3) - 3$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (x^{2} + 3) = {(x^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (x^{2} + 3) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 3) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x^{2} + 3) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 5.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x^{2} + 3) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$