Elementarmathematik Beispiele

If $f (x) = 3 x + 6$ then find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 x + 6$ als Gleichung.

$y = 3 x + 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 y + 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 y + 6 = x$ um.

$3 y + 6 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x - 6$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x - 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x - 6$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 6$ durch $3$ .

$y = \frac{x}{3} - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 x + 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 x + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 x + 6}{3} - 2$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x + 6$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3 (1)} - 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3 \cdot 1} - 2$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{x + 2}{1} - 2$

Schritt 5.2.3.4.4

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = x + 2 - 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{3} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3} - 2) + 6$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 2 + 6$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 2 + 6$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 2 + 6$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = x - 6 + 6$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$