Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \frac{4}{5} x^{2} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 4}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Schritt 1.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = - \frac{4 \cdot x^{2}}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $\frac{48}{5}$ und $x$ .

$y = - \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{4}{5}$

$b = \frac{48}{5}$

$c = - \frac{114}{5}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{48}{5}}{2 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{48}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$d = \frac{2 (24)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 24}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{4}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{24}{5}$ mit $\frac{1}{- \frac{4}{5}}$ .

$d = \frac{24}{5 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = \frac{24}{- 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{4}{5}$ .

$d = \frac{24}{\frac{- 5 \cdot 4}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$d = \frac{24}{\frac{- 20}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $5$ .

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Schritt 1.2.3.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 20$ heraus.

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 (1)}}$

Schritt 1.2.3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 1}}$

Schritt 1.2.3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{24}{\frac{- 4}{1}}$

Schritt 1.2.3.2.7.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = \frac{24}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $- 4$ .

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Schritt 1.2.3.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$d = \frac{4 (6)}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.8.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Schritt 1.2.3.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$d = - 6$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{114}{5} - \frac{{(\frac{48}{5})}^{2}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{48}{5}$ an.

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{48^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $48$ mit $2$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- 4 (\frac{4}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{5}$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 4 \cdot 4}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 16}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- \frac{16}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} (- \frac{5}{16}))$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{16}$ in den Zähler.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Faktorisiere $16$ aus $2304$ heraus.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 (144)}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 \cdot 144}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Schritt 1.2.4.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{25} \cdot - 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.7.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 (5)} \cdot - 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.7.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.4.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.4.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.4.2.1.8

Kombiniere $\frac{144}{5}$ und $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{144 \cdot - 1}{5}$

Schritt 1.2.4.2.1.9

Mutltipliziere $144$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{- 144}{5}$

Schritt 1.2.4.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{114}{5} - - \frac{144}{5}$

Schritt 1.2.4.2.1.11

Multipliziere $- - \frac{144}{5}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} + 1 (\frac{144}{5})$

Schritt 1.2.4.2.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{144}{5}$ mit $1$ .

$e = - \frac{114}{5} + \frac{144}{5}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 114 + 144}{5}$

Schritt 1.2.4.2.3

Addiere $- 114$ und $144$ .

$e = \frac{30}{5}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $30$ durch $5$ .

$e = 6$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$ ein.

$- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{4}{5} \cdot {(x - 6)}^{2} + 6$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{4}{5}$

$h = 6$

$k = 6$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(6, 6)$

Schritt 4