Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$ nicht definiert ist.

$x = 1$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 3$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x - 2}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x - 2}$

Schritt 6.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x - 2}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) - 2}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (- 1)}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 1)}{2}$

Schritt 6.2

Multipliziere $3 (x + 1)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1}{2}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 x + 3}{2}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2$

$3 x$

$3$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2$ .

			$\frac{3 x}{2}$
	$2$		$3 x$	+	$3$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	+	$3 x$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x$

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$	+	$3$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 6.10

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{3 x}{2}$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{3 x}{2}$

Schritt 8