Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 y = 8 x - 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 8 x - 7 - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 8 x - 7 - x^{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 8 x - 7 - x^{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x)}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (4 x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (4 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 x}{1} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.4

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$y = 4 x + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 4 x - \frac{7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 4 x - \frac{7}{2} - \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x - \frac{7}{2} - \frac{x^{2}}{2}$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Bewege $- \frac{7}{2}$ .

$4 x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $4 x$ und $- \frac{x^{2}}{2}$ um.

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x - \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 4$

$c = - \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 2 (- 1 \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.3

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = 2 \cdot - 2$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$d = - 4$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{7}{2} - (4 (- 1 \cdot 2))$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Multipliziere $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{7}{2} - (4 \cdot - 2)$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$e = - \frac{7}{2} - - 8$

Schritt 1.2.5.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$e = - \frac{7}{2} + 8$

Schritt 1.2.5.2.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} + 8 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} + \frac{8 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 7 + 8 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$e = \frac{- 7 + 16}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Addiere $- 7$ und $16$ .

$e = \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = \frac{9}{2}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, \frac{9}{2})$

Schritt 4